Matematikçilerin gösterdiği yoldan ilerleyen sanatçılar, bilginler ve düşünürler görmüşler ki Mona Lisa ile bir koçun boynuzları veya Atina’daki Parthenon ile parmağımızın boğumları ya da Mısırdaki Piramitler ile çam kozalağı hatta DNA molekülü ile Beethoven’ in 5 inci Senfonisi arasında bir ölçü benzerliği veya bir davranış paralelliği bulunmaktadır. Evren, doğa ve sanatta bir ortak özellik olarak karşımıza çıkmakta olan bu benzerlik veya paralelliğe altın oran adı verilmektedir.
Eski Mısır ve Yunandan beri farkında olunan bu özellik Öklid’ in ortaya attığı şu soru üzerine matematikte incelenmeye başlanmıştır:
İçinden bir kare çıkarıldığı zaman kalan dikdörtgende kısa kenarının uzun kenarına oranı değişmeyen bir dikdörtgen var mıdır?
Gerçekten böyle bir dikdörtgen vardır ve bu dikdörtgene Altın Dikdörtgen adı verilir. Yukarıdaki şekilde görülen ABCD dikdörtgeni böyle bir dikdörtgendir.
Bu dikdörtgenin içine, kısa kenarı esas alarak p karesini çizdiğimizde geriye FBC E dikdörtgeni kalır. Öklid’in istediği AD / DC= EC/BC
eşitliğinin doğrulanmasıdır.
DC = 1 Cm ve AD= DE = 0.618 Cm olsun.
O halde : EC = 1 – 0.618 = 0.382
olduğundan

0.618/ 1 = 0.382 / 0.618 ve
0.618 = 0.618
bulunur.Yani Öklid’ in isteği yerine gelmiştir.
Bu 0.618 rakamının bulunmasına gelince :
AD = DE= x dersek
DC = 1 olduğundan EC = 1 – x olur. Bu değerleri yerine koyduğumuzda
1-x / x = x/1 ve x 2 + x -1 = 0 elde ederiz.
Bu ikinci derece denklemin kökleri

olup buradan
x1 = 1,618 ve
x 2 =-0.618 olduğu bulunur.
İşte altın oranın yaklaşık sayısal değeri bu rakamdır. Yaklaşık diyoruz çünkü aslında bu rakam bir sürekli kesirdir. Matematikte x1 yerine Yunanca  = Fi harfi kullanılmaktadır. Diğer tataraftan bu iki kök arasında ilginç bir ilişki bulunmaktadır : İkinci kök birinci kökün evrilmesi ile elde edilebilir, yani x 2 = - 1/  dir.
Yukarıdaki şekle dönersek, görürüz ki ABCD Dikdörtgeninden p karesi çıkarıldıktan sonra kalan dikdörtgenden, q karesi, buradan elde edilen dikdörtgenden r karesi, sonra s karesi bulunabilmektedir ki altın oran yeni elde edilen dikdörtgenlerde de korunmaktadır.

Resimde bir de sarmal (helezon ) görülmektedir. Bu sarmal p, q, r ve s karelerinin içine, yarı çapları, bu karelerin kenar uzunluklarına eşit olan çeyrek çemberler çizilerek elde edilmiştir. Bu çember parçalarının uzunluklarının bir birine oranı da yine altın orana eşit bulunmaktadır.Pek çok alanda karşımıza çıktığını aşağıda göreceğimiz bu sarmala logaritmik sarmal veya eşit açılı sarmal adı veriliyor.
Diğer taraftan, Öklid’ den çok önce Pisagor tarafından varlığından söz edilmiş olan ve Öklid’ den sonra da pek çok matematikçi ve düşünürün üzerinde durmuş olduğu altın oranın daha sonra bir başka yolla da elde edilebileceği bulunmuştur. İtalyan Matematikçisi Fibonacci, soruyor:
Varsayalım ki her bir yavru tavşan çifti iki aylık olduktan sonra, her ay biri erkek ve biri dişi olmak üzere, bir çift tavşan yavruluyor. Ocak ayında bir çift yavru tavşanla işe başlarsak, yıl sonunda kaç tavşanımız olur?
Bu sorunun cevabı aşağıdaki tablo ve şekilde verilmektedir.
Tabloda görüldüğü gibi ( B sütunu) yıl sonunda elimizdeki tavşanların sayısı 144 ‘ e

ulaşacaktır. Tablonun B sütunu aynı zamanda Fibonacci Sayıları adı verilen bir diziyi göstermektedir. Bu diziyi matematik diliyle şöyle tanımlayabiliriz :

Tablonun C sütunu bu dizideki bir sayının kendisinden önce gelen sayıya bölümünü göstermektedir ki hemen fark edileceği gibi bu bölümler, limitte yukarda altın oran olarak verilen sayıya yaklaşmaktadır.
Altın oranın elde edilmesi konusundaki açıklamalardan sonra bu oranın anlam ve önemine geçebiliriz.
Altın oranı veya Fibonacci dizisini çağrıştıran özelliklere pek çok alanda rastlanmaktadır. Yüzyıllar boyunca pek çok düşünür, sanatçı bu örnekleri araştırmıştır. İnsan vücudunun birçok bölümünde altın oran ölçülerinin bulunduğunu galiba ilk önce M..Ö. 500 lü yıllarda yaşamış olan Pisagor görmüş ve insanın tam boyunun, yerden göbeğe kadar olan mesafeye oranının , bir düzgün beşyüzlünün (pentagramın) uzun ve kısa kenarlarının oranına eşit olduğunu yazmıştır. Günümüze kadar yapılmış olan araştırmalardan yararlanılarak hazırlanmış olan Şekil 3 de insan vücudunda daha pek
çok altın oran örnekleri olduğu görülmektedir.
Altın oran yalnız insan vücudunda değil hayvanlar ve bitkiler aleminde de sık sık karşımıza çıkmaktadır. Örneğin birçok bitkide yaprakların sap üzerinde dizilmesinde altın oran, çiçeklerin yaprak sayısında Fibonacci dizisi görülür. Aşağıdaki tabloda çeşitli çiçeklerdeki yaprak sayısı gösterilmiştir. Görüldüğü gibi çoğu çiçeğin sahip olduğu yaprakların sayısı Fibonacci dizisinin bir elemanıdır.
Hayvanlar aleminde de boyutlarda altın orana, niceliklerde Fibonacci dizisine, biçimlerde altın oran elde edilirken çizilen logaritmik sarmala sıkça rastlanmaktadır. Örneğin aşağıdaki resimde
görülen salyangozun kabuğu böyle bir sarmaldır. Deniz kabukları veya boğanın boynuzları da bu örneğe uygun davranmaktadır. Daha ilginci, bütün canlıların yapı taşı olan DNA molekülünün çifte sarmalının da aynı özelliği taşımasıdır.
Doğadan biraz yukarıya bakıldığında uzayda da aynı sarmala rastlanacağı anlaşılmaktadır. Galaksilerin dışa doğru dönen yıldızlardan oluşan sarmal kolları da eşit açılı sarmaldır.
Matematik bir buluş olan altın oran ve Fibonacci dizisine doğada ve evrende de
rastlanması insanları çeşitli yorumlara, sonuçlara bilimsel veya duygusal inançlara sevk etmiştir. Örneğin
1445-1517 arasında yaşamış olan Luca Pacioli Divina proportione (İlahi Oran ) adlı eserinde altın oranı ilahi bir oran olarak tanımlamaktadır. Günümüzde dahi bu oran ve Fibonacci dizisi Tanrının hikmeti ve varlığının kanıtları olarak görülmekte, dini metinlerde bu konuya ışık tutabilecek ifadeler bulunduğu açıklanmaktadır. Orta Çağdan hemen sonra altın oran yeni bir önem kazanmış, Antik Çağdan başlayarak sanat eserlerindeki ve özelikle resim ve mimarideki altın oran örnekleri aranmaya başlanmıştır. Leonardo da Vinci gibi bazı sanatçılar da bu oranı eserlerinde bilinçli olarak uygulamışlardır.
Bilindiği gibi felsefenin önemli alanlarından biri olan Estetik, güzelin ve güzelliği oluşturan öğelerin tanımı ile uğraşır. Estetik bugüne kadar genel kabul görmüş tanımlara pek ulaşamamış ise de basit matematik bir temele dayanan altın oranın insanların hep hoşuna gittiği, hatta bazen büyülediği görülmektedir. Bu yüzden pek çok sanatçı, resmin çerçeve boyutlarının belirlenmesinde ve kompozisyonun tasarlanmasında, Rönesans’ın büyük ustasının izinden
4) altın oranın resim sanatındaki uygulamasının ilginç bir örneğidir. Konstantin Vasiljev adında bir Rus ressamına ait olan bu resimde birbirine özlemle sarılan iki sevgiliyi görmekteyiz. Resmi çerçeveleyen dikdörtgenin kısa kenarının altın bölüm noktasından çizilecek doğru ile uzun kenarın altın bölüm noktasından çizilecek doğrunun kesiştiği nokta, tam genç kızın gözüne rastlamakta ve dikkatimiz doğrudan bu noktaya yönlendirilmektedir.
. Altın oranın ve Fibonacci dizisinin şiir, müzik gibi sanatın diğer dallarında da uygulandığı çeşitli örneklerle gösterilmektedir. Özellikle müzik eserlerinde altın oranın etkisi konusunda derinlemesine incelemeler yapılmıştır. Yalnız, bu incelemelerde
dayanılan teknik bilgi ve kullanılan matematik bu yazının sınırlarının biraz dışına taşmaktadır. Diğer taraftan bazı düşünür ve sanatçılar altın oranın sanat alanında sanıldığı kadar yaygın olarak kullanılmadığı, hatta altın oranın çok uygun bir estetik ölçü de olmadığı görüşünde olduğu için altın orancılarla karşı görüşte olanlar arasında bir tartışma sürüp gitmektedir. Bu tartışma da derin estetiğin çetrefil konularından birisini oluşturmakta, yani bu yazının dışında kalmaktadır. Burada sadece, evren, doğa ve sanatta örnekleri görülen bir matematik konusunun biraz görsel bir açıklaması yapılmaya çalışılmıştır.
Yalnız bir altın kural vardır; o da hiç bir altın kural olmadığıdır.
George -Bernard Shaw


Hiç bir üstün güzellik yoktur ki orantılarında bir gariplik bulunmasın.
Sir Francis Bacon


Düzen, üzerine güzelliğin dayandığı biçimdir. .
Pearl Buck

Odur yaradan yedi göğü tabaka tabaka Göremezsin bir oransızlık yüceler yücesinin yarattığında
.
Kuran: LXVII/3

Konstantin Vasiljev: Pencere Önünde

3SUTUN BAŞ SAYFASINA                                                                                                                     BU BÖLÜMÜN BAŞINA